\documentclass[handout]{slide}




\renewcommand{\mytitle}{第八章\quad 向量代数与空间解析几何}
\renewcommand{\mysubtitle}{第六节\quad 空间曲线及其方程}

\graphicspath{ {./images/} }
\tikzset{>=latex}

\begin{document}

\section{空间曲线的一般方程}

\begin{frame}{空间曲线的一般方程}
  \pause
  在第三节中，我们已经知道空间曲线可以视为两个曲面的交线。
\pause
  设
      $F(x, y, z)=0$和 $G(x, y, z)=0$
      是两个曲面的方程，
\pause
      则方程组
      \begin{equation}\tag{6-1}
      \left\{\begin{array}{l}
      F(x, y, z)=0 \\
      G(x, y, z)=0
      \end{array}\right.
      \end{equation}
      就是这两个曲面的交线 $C$ 的方程， 
\pause
      方程组 (6-1) 也叫做\emph{空间曲线 $C$ 的一般方程}。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1, \\ 2 x+3 z=6\end{array}\right.$ 表示怎样的曲线?
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
\begin{columns}
  \begin{column}{.5\textwidth}
  方程组中第一个方程表示母线平行于 $z$ 轴的圆柱面， 
其准线是 $x O y$ 面上的圆，圆心在原点 $O$, 半径为 $1$. 
\pause
方程组中第二个方程表示一个母线平行于 $y$ 轴的柱面， 由于它的准线是 $z O x$ 面上的直线， 因此它是一个平面。 
\pause
方程组就表示上述平面与圆柱面的交线，如图 8-53 所示。
\end{column}

\begin{column}{.5\textwidth}
  \begin{figure}
  \centering
    \includegraphics[max width=.4\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-31}
      \caption*{图 8-53}
      \end{figure}
    \end{column}
\end{columns}
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
 方程组 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}, \\ \left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2} \text { 表示怎样的曲线? }\end{array}\right.$
 \end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
  \begin{columns}
    \begin{column}{.5\textwidth}
  方程组中第一个方程表示球心在坐标原点 $O$, 半径为 $a$ 的上半球面。
\pause
  第二个方程表示母线平行于 $z$ 轴的圆柱面， 它的准线是 $x O y$ 面上的圆，这圆的圆心在点 $\left(\frac{a}{2}, 0\right)$, 半径为 $\frac{a}{2}$. 
\pause
  方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线， 如图 8-54 所示。
\end{column}
\pause
\begin{column}{.5\textwidth}
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[max width=.6\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-31(1)}
    \caption*{图 8-54}
  \end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\end{solution}

\end{frame}

\section{空间曲线的参数方程}

\begin{frame}{空间曲线的参数方程}
  \pause
  空间曲线$C$的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，
\pause
  只要将 $C$ 上动点的坐标 $x, y$ 和 $z$ 表示为参数 $t$ 的函数
      \begin{equation}\tag{6-2}
      \left\{\begin{array}{l}
      x=x(t), \\
      y=y(t), \\
      z=z(t) .
      \end{array}\right.
      \end{equation}
\pause
      当给定 $t=t_{1}$ 时， 就得到曲线 $C$ 上的一个点 $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$; 
\pause
      随着 $t$ 的变动便可得曲线 $C$ 上的全部点。 
\pause
      方程组 (6-2) 叫做\emph{空间曲线$C$的参数方程}。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
    如果空间一点 $M$ 在圆柱面 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 上以角速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴旋转， 同时又以线速度 $v$ 沿平行于 $z$ 轴的正方向上升 (其中 $\omega$ 和 $v$ 都是常数), 那么点 $M$ 构成的图形叫做\emph{螺旋线}。 试建立其参数方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.25\textwidth}
    \centering
      \includegraphics[max width=.25\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-32}
    \caption*{图 8-55}
\end{wrapfigure}
  取时间 $t$ 为参数。 
\pause
  设当 $t=0$ 时，动点位于 $x$ 轴上的一点 $A(a, 0,0)$ 处。 
\pause
  经过时间 $t$, 动点由 $A$ 运动到 $M(x, y, z)$ (图 8-55). 
\pause
  记 $M$ 在 $x O y$ 面上的投影为 $M^{\prime}, M^{\prime}$ 的坐标
为 $(x, y, 0)$. 
\pause
由于动点在圆柱面上以角速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴旋转， 所以经过时间 $t, \angle A O M^{\prime}=\omega t$. 
\pause
从而
$$
\begin{gathered}
x=\left|O M^{\prime}\right| \cdot \cos \angle A O M^{\prime}=a \cos \omega t, \\
y=\left|O M^{\prime}\right| \sin \angle A O M^{\prime}=a \sin \omega t .
\end{gathered}
$$
\pause
由于动点同时以线速度 $v$ 沿平行于 $z$ 轴的正方向上升，所以
$$
z=M^{\prime} M=v t.
$$
\pause
因此螺旋线的参数方程为
$$
\left\{\begin{array}{l}
    x=a \cos \omega t, \\
  y=a \sin \omega t, \\
z=v t .
\end{array}\right.
$$
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{solution}[续]
也可以用其他变量作参数。
\pause
 例如令 $\theta=\omega t$, 则螺旋线的参数方程可写为
$$
\left\{\begin{array}{l}
  x=a \cos \theta \\
y=a \sin \theta \\
z=b \theta
\end{array}\right.
$$
\pause
这里 $b=\frac{v}{\omega}$, 而参数为 $\theta$.
\end{solution}
\pause
螺旋线是实践中常用的曲线。
\pause
 例如， 平头螺丝钉的外缘曲线就是螺旋线。
\pause
 当我们拧紧平头螺丝钉时， 它的外缘曲线上的任一点 $M$, 一方面绕螺丝钉的轴旋转， 另一方面又沿平行于轴线的方向前进，点 $M$ 就走出一段螺旋线。
\pause


螺旋线有一个重要性质： 当 $\theta$ 从 $\theta_{0}$ 变到 $\theta_{0}+\alpha$ 时， $z$ 由 $b \theta_{0}$ 变到 $b \theta_{0}+b \alpha$. 
\pause
这说明当 $O M^{\prime}$ 转过角 $\alpha$ 时， 点 $M$ 沿螺旋线上升了高度 $b \alpha$, 即上升的高度与 $O M^{\prime}$ 转过的角度成正比。
\pause
 特别是当 $O M^{\prime}$ 转过一周， 即 $\alpha=2 \pi$ 时， 点 $M$ 就上升固定的高度 $h=2 \pi b$. 这个高度 $h=2 \pi b$ 在工程技术上叫做\emph{螺距}。


\end{frame}


\section{曲面的参数方程}

\begin{frame}{曲面的参数方程}

\pause
下面顺便介绍一下曲面的参数方程。
\pause
 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程，形如
\[\tag{6-3}
\left\{\begin{array}{l}
  x=x(s, t) \\
y=y(s, t) \\
z=z(s, t)
\end{array}\right.
\]


\pause
例如空间曲线 $\Gamma$
$$
\left\{\begin{array}{ll}
  x=\varphi(t), \\
  y=\psi(t), &  (\text{其中~}\alpha \leqslant t \leqslant \beta) \\
z=\omega(t)
\end{array}\right.
$$
绕 $z$ 轴旋转， 
\pause
所得旋转曲面可参数化为
\[\tag{6-4}
\left\{\begin{array}{ll}
  x=\sqrt{[\varphi(t)]^{2}+[\psi(t)]^{2}} \cos \theta, \\
  y=\sqrt{[\varphi(t)]^{2}+[\psi(t)]^{2}} \sin \theta,  & (\text{其中~}\alpha \leqslant t \leqslant \beta, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi). \\
z=\omega(t),
\end{array}\right.
\]
\pause
这是因为， 固定一个 $t$, 得 $\Gamma$ 上一点 $M_{1}(\varphi(t), \psi(t), \omega(t))$, 点 $M_{1}$ 绕 $z$ 轴旋转， 得空间的一个圆， 该圆在平面 $z=\omega(t)$ 上， 其半径为点 $M_{1}$ 到 $z$ 轴的距离 $\sqrt{[\varphi(t)]^{2}+[\psi(t)]^{2}}$, 因此， 固定 $t$的方程 (6-4) 就是该圆的参数方程。
\pause
 再令 $t$ 在 $[\alpha, \beta]$ 内变动， 方程 (6-4) 便是旋转曲面的方程。

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
  \centering
\includegraphics[max width=.2\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-33}
\caption*{图 8-56}
\end{wrapfigure}
例如直线
$$
\left\{\begin{array}{l}
  x=1 \\
y=t \\
z=2 t
\end{array}\right.
$$
绕 $z$ 轴旋转所得旋转曲面 (图 8-56) 的方程为
\pause
$$
\left\{\begin{array}{l}
  x=\sqrt{1+t^{2}} \cos \theta \\
y=\sqrt{1+t^{2}} \sin \theta \\
z=2 t
\end{array}\right.
$$
(上式消去 $t$ 和 $\theta$, 得曲面的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}=1+\frac{z^{2}}{4}$ ).
\end{frame}


\begin{frame}

\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
\centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-33(1)}
\caption*{图 8-57}
\end{wrapfigure}
又如球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 可看成 $z O x$ 面上的半圆周
$$
\left\{\begin{array}{ll}
  x=a \sin \varphi, \\
  y=0, & (\text{其中~}0 \leqslant \varphi \leqslant \pi) \\
z=a \cos \varphi,
\end{array}\right.
$$
绕 $z$ 轴旋转所得 (图 8-57), 
\pause
故球面可参数化为
$$
\left\{\begin{array}{ll}
  x=a \sin \varphi \cos \theta, \\
  y=a \sin \varphi \sin \theta, & (\text{其中~} 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi). \\
z=a \cos \varphi,
\end{array}\right.
$$


\end{frame}

\section{空间曲线在坐标面上的投影}
\begin{frame}{空间曲线在坐标面上的投影}
  \pause
设空间曲线 $C$ 的一般方程为 (6-1), 现在来研究由方程组 (6-1) 消去变量 $z$ 后 (如果可能的话) 所得的方程
\[\tag{6-5}
H(x, y)=0 .
\]
\pause
由于方程 (6-5) 是由方程组 (6-1) 消去 $z$ 后所得的结果， 因此当 $x, y$ 和 $z$ 满足方程组 (6-1) 时， 前两个坐标 $x, y$ 必定满足方程 (6-5), 这说明曲线 $C$ 上的所有点都在由方程 (6-5) 所表示的曲面上。
\pause


由上节知道，方程 (6-5) 表示一个母线平行于 $z$ 轴的柱面。
\pause
 由上面的讨论可知， 这柱面必定包含曲线 $C$. 
\pause
以曲线 $C$ 为准线、母线平行于 $z$ 轴 (即垂直于 $x O y$ 面) 的柱面叫做曲线 $C$ 关于 $x O y$ 面的\emph{投影柱面}，
\pause
投影柱面与 $x O y$ 面的交线叫做空间曲线 $C$ 在 $x O y$面上的\emph{投影曲线}，或简称\emph{投影}。
\pause
因此，方程 (6-5) 所表示的柱面必定包含投影柱面，而方程
$$
\left\{\begin{array}{l}
H(x, y)=0 \\
z=0
\end{array}\right.
$$
所表示的曲线必定包含空间曲线 $C$ 在 $x O y$ 面上的投影。
\pause


同理， 消去方程组 $(6-1)$ 中的变量 $x$ 或变量 $y$, 再分别和 $x=0$ 或 $y=0$ 联立， 
\pause
我们就可得到包含曲线 $C$ 在 $y O z$ 面或 $z O x$ 面上的投影的曲线方程：
$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ R ( y , z ) = 0 , } \\
{ x = 0 , }
\end{array} \quad\text { 或 }\quad \left\{\begin{array}{l}
T(x, z)=0, \\
y=0 .
\end{array}\right.\right.
$$
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  已知两球面的方程为
  \begin{equation}\tag{6-6}
  x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
\end{equation}
和
\begin{equation}\tag{6-7}
x^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1,
\end{equation}
求它们的交线 $C$ 在 $x O y$ 面上的投影的方程。

\end{example}
\onslide<2->{%
\begin{solution}
  \onslide<3->{%
  先求包含交线 $C$ 而母线平行于 $z$ 轴的柱面方程。
}%
\onslide<4->{%
 因此要由方程 (6-6)、(6-7)消去 $z$, 为此可先从 (6-6) 式减去 (6-7) 式并化简，得到
   $y+z=1.$
 }%
 \onslide<5->{%
再以 $z=1-y$ 代人方程 (6-6) 或 (6-7) 即得所求的柱面方程为
\[
x^{2}+2 y^{2}-2 y=0 .
\]
}%
\onslide<6->{%
容易看出，这就是交线 $C$ 关于 $x O y$ 面的投影柱面方程%
}%
\onslide<7->{%
\footnote{
\onslide<8->{%
  若$(x_0,y_0)$满足方程$x_0^2+2y_0^2-2y_0=0$, 令$z_0=1-y_0$, 
}%
  \onslide<9->{%
  那么$x_0^2+y_0^2+z_0^2=1$, 即$(x_0,y_0,z_0)$满足方程(6-6), 
}%
\onslide<10->{%
  进而$(x_0,y_0,z_0)$满足(6-7).
}%
\onslide<11->{%
  这样$(x_0,y_0,z_0)$是交线$C$上一点，这说明$x^2+2y^2-2y=0$上的点都在投影柱面上，
}%
\onslide<12->{%
  从而$x^2+2y^2-2y=0$就是投影柱面。
}%
}，
}%
\onslide<13->{%
于是两球面的交线在 $x O y$ 面上的投影的方程是
$$
\left\{\begin{array}{l}
  x^{2}+2 y^{2}-2 y=0 \\
  z=0.
\end{array}\right.
$$
}%
\end{solution}
}%
\end{frame}

\begin{frame}

在重积分和曲面积分的计算中，往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线。
\pause

\begin{example}
设一个立体由上半球面 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 和锥面 $z=\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 所围成 (图 8-58), 求它在 $x O y$ 面上的投影。

\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \begin{center}
      \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-35}
    \end{center}
    \caption*{图 8-58}
  \end{wrapfigure}
    半球面和锥面的交线为
  $$
  C:\left\{\begin{array}{l}
    z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, \\
  z=\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}\right)} .
\end{array}\right.
$$
\pause
由上列方程组消去 $z$, 得到 $x^{2}+y^{2}=1$. 
\pause
这是一个母线平行于 $z$ 轴的圆柱面，容易看出，这恰好是交线 $C$ 关于 $x O y$ 面的投影柱面，
\pause
因此交线 $C$ 在 $x O y$ 面上的投影曲线为
$$
\left\{\begin{array}{l}
  x^{2}+y^{2}=1 \\
z=0
\end{array}\right.
$$
\pause
这是 $x O y$ 面上的一个圆， 于是所求立体在 $x O y$ 面上的投影，就是该圆在 $x O y$ 面上所围的部分
$$
x^{2}+y^{2} \leqslant 1 .
$$
 \end{solution}

\end{frame}

\end{document}

